Taxa de câmbio on-line Patos: Preços normais distribuição normal

Ferramentas de Probabilidade para Melhor Negociação de Forex.

Para serem bem sucedidos, os comerciantes de forex precisam conhecer a matemática básica da probabilidade. Afinal, é difícil alcançar e manter os ganhos comerciais antes de ter a capacidade de entender os números e medi-los.

Muitos comerciantes usam uma combinação de indicadores de caixa preta para desenvolver e implementar regras comerciais. No entanto, a diferença entre um comerciante "bom" e um grande é a compreensão das métricas e métodos para calcular desempenho e ganhos.

As probabilidades e as estatísticas são a chave para desenvolver, testar e lucrar com o comércio forex. Ao conhecer algumas ferramentas de probabilidade, é mais fácil para os comerciantes estabelecer metas comerciais em termos matemáticos, criar e operar estratégias de negociação efetivas e avaliar os resultados.

É útil rever os conceitos mais básicos de probabilidade e estatísticas para o comércio forex. Ao entender a matemática da probabilidade, você conhecerá a lógica usada pelos sistemas mecânicos de negociação e pelos consultores especializados (EA).

Distribuição normal.

A ferramenta mais básica de probabilidade na negociação forex é o conceito de distribuição normal. A maioria dos processos naturais diz ser "normalmente distribuído".

A "distribuição uniforme" implica que a probabilidade de um número estar em qualquer lugar em um continuum é aproximadamente igual. Este é o tipo de distribuição que resultaria da propagação artificial de objetos tão uniformemente quanto possível em uma área, com uma quantidade uniforme de espaçamento entre eles.

No entanto, em vez de uma distribuição uniforme, o preço de um par de moedas provavelmente será encontrado dentro de uma determinada área em qualquer momento. Esta é a sua "distribuição normal", e as ferramentas de probabilidade podem mostrar uma aproximação de onde esse preço provavelmente será encontrado.

A distribuição normal oferece o poder preditivo dos comerciantes de forex quanto à probabilidade de um preço do par de moedas atingir um certo nível durante um determinado período de tempo.

Os computadores usam um gerador de números aleatórios para calcular os meios (médias) dos preços do forex para determinar sua distribuição normal.

Se um grande número de preços de amostra forem verificados, a distribuição normal formará a forma de uma curva de sino quando plotada graficamente. Quanto maior o número de amostras, maior será a curva.

As regras das médias simples são úteis para os comerciantes, no entanto, as regras da distribuição normal oferecem um poder preditivo mais útil. Por exemplo, um comerciante pode calcular que o movimento de preço diário "médio" de um par forex é, digamos, 50 pips.

No entanto, a distribuição normal também pode dizer ao comerciante a probabilidade de que um determinado movimento diário do preço caia entre 30 e 50 pips, ou entre 50 e 70 pips.

De acordo com as regras de distribuição normal e desvio padrão, aproximadamente 68% das amostras serão encontradas dentro de um desvio padrão da média (média) e cerca de 95% serão encontrados dentro de dois desvios padrão da média. Finalmente, existe uma probabilidade de 99,7% de que a amostra caia dentro de três desvios-padrão da média.

A distribuição normal e as funções de desvio padrão em consultores especializados (EA) e sistemas de negociação ajudam os comerciantes de forex a avaliar a probabilidade de que os preços possam se mover um determinado valor durante um determinado período de tempo.

No entanto, os comerciantes devem ser cautelosos ao usar o conceito de distribuição normal sozinho para fins de gerenciamento de risco. Mesmo que a probabilidade de um evento raro (como uma redução de preço de 50%) pode parecer baixa, fatores de mercado imprevistos podem tornar a possibilidade muito maior do que parece durante cálculos de distribuição normais.

A confiabilidade da análise depende da quantidade e qualidade dos dados.

Ao modelar curvas de distribuição normais, a quantidade e a qualidade dos dados do preço de entrada são muito importantes. Quanto maior o número de amostras, maior será a curva. Além disso, para evitar erros de cálculo resultantes de dados insuficientes, é importante que cada cálculo seja baseado em pelo menos trinta amostras.

Então, para testar uma estratégia de negociação forex estimando os resultados de trocas de amostra, o desenvolvedor do sistema deve analisar pelo menos 30 trades para alcançar conclusões estatisticamente confiáveis quanto aos parâmetros testados. Da mesma forma, os resultados de um estudo de 500 negócios são mais confiáveis do que aqueles de uma análise de apenas 50 negócios.

Dispersão e expectativa matemática para estimar o risco.

Para os comerciantes de forex, as características mais importantes de uma distribuição são a sua expectativa e dispersão matemática. A expectativa matemática para uma série de negócios é fácil de calcular: basta somar todos os resultados do comércio e dividir esse valor pelo número de negócios.

Se o sistema comercial for lucrativo, a expectativa matemática é positiva. Se a expectativa matemática é negativa, o sistema está perdendo em média.

A inclinação ou a inclinação relativa da curva de distribuição é mostrada através da medição da dispersão ou dispersão dos valores de preços dentro da área da expectativa matemática. Normalmente, a expectativa matemática de qualquer valor distribuído aleatoriamente é descrita como M (X).

Portanto, a dispersão pode ser definida como D (X) = M [(X-M (X)] 2.

E a raiz quadrada de uma dispersão é chamada de desvio padrão, mostrada em taquigrafia matemática como sigma (σ).

Dispersão e desvio padrão são criticamente importantes para o gerenciamento de riscos em sistemas de negociação forex. Quanto maior o valor do desvio padrão, maior será o potencial de redução, e maior será o risco. Do mesmo modo, quanto menor for o valor do desvio padrão, menor será a redução ao negociar o sistema.

Por exemplo, abaixo é uma avaliação de risco de exemplo para um teste de um sistema de comércio de divisas:

Número de Comércio X (Ganho ou Perda Comercial)

No exemplo acima com base no número mínimo de trinta trades para uma amostra adequada, é importante notar que a expectativa matemática é positiva, então a estratégia de negociação forex é realmente lucrativa.

No entanto, o desvio padrão é alto, então, para ganhar cada dólar, o comerciante está arriscando uma quantidade muito maior; Este sistema comporta riscos significativos.

Aqui está o resto da matemática: para determinar a expectativa matemática para este grupo de negócios, junte todos os ganhos e perdas dos negócios, então divida em 30. Este é o valor médio M (X) para todos os negócios. Nesse caso, é igual a um ganho médio de US $ 4,26 por comércio. Até agora, o sistema parece promissor.

Em seguida, para calcular o desvio padrão da dispersão, a média acima de US $ 4,26 é subtraída dos resultados de cada comércio, então é quadrada, e a soma de todos esses quadrados é adicionada em conjunto. A soma é dividida por 29, que é o número total de negócios menos 1.

Ao usar a fórmula para Dispersão de (X) = M [(X-M (X)] 2 acima, aqui está uma verificação do cálculo da primeira troca em nosso exemplo:

Comércio 1: -17,08 - 4,26 = -21,34, e (-21,34) 2 = 455,39.

O mesmo cálculo é realizado para cada comércio na série de testes. Neste exemplo, a dispersão sobre a série é igual a 9.353.62 e, por definição, sua raiz quadrada é igual ao desvio padrão (σ), que neste caso é $ 96.71.

Assim, o comerciante forex vê que o risco para este sistema particular é bastante elevado: a expectativa matemática é realmente positiva, com um lucro médio de US $ 4,26 por troca, mas o desvio padrão é alto quando comparado com esse lucro.

Pode-se ver que o comerciante arrisca cerca de US $ 96,71 por cada oportunidade de ganhar US $ 4,226 em lucro. Esse risco pode ser aceitável, ou o comerciante pode optar por modificar o sistema em busca de menor risco.

Além do risco de um sistema de comércio específico, os comerciantes de forex também podem usar a distribuição normal e o desvio padrão para calcular o escore Z, o que indica a freqüência com que os negócios lucrativos ocorrerão em relação à perda de negócios.

Durante o processo de desenvolvimento de um sistema de negociação forex vencedor, o comerciante pode se perguntar quantos dos negócios lucrativos vistos durante o teste foram "aleatórios" e quantos negócios perdidos consecutivos devem ser tolerados para conseguir negócios vencedores.

Por exemplo, vamos assumir que o lucro esperado médio de um determinado sistema de negociação forex é quatro vezes menor do que o montante de perda esperada de cada ordem de perda de parada desencadeada ao negociar este sistema.

Alguns comerciantes podem assumir que o sistema ganhará ao longo do tempo, desde que exista uma média de pelo menos um comércio rentável para cada quatro negociações perdedoras. No entanto, dependendo da distribuição de ganhos e perdas, durante o comércio mundial, esse sistema pode diminuir demais para se recuperar a tempo do próximo vencedor.

A distribuição normal pode ser usada para gerar um escore Z, às vezes chamado de pontuação padrão, o que permite que os comerciantes estimem não apenas a proporção de vitórias em perdas, mas também quantas vitórias / perdas provavelmente ocorrerão consecutivamente.

Um escore Z positivo representa um valor acima da média, e um escore Z negativo representa um valor abaixo da média. Para obter esse valor, o comerciante subtrai a média da população de um valor bruto individual, em seguida, divide a diferença pelo desvio padrão da população.

O cálculo da pontuação padrão básica para uma pontuação em bruto designada como x é:

Onde μ é a média da população e σ é o desvio padrão da população. É importante entender que calcular o escore Z exige que o comerciante conheça os parâmetros da população, e não apenas as características de uma amostra retirada dessa população.

Z representa a distância entre a média da população e a pontuação bruta, expressa em unidades do desvio padrão. Então, para um sistema de comércio forex:

Z = [N x (R - 0,5) - P] / [(P x (P - N)] / (N - 1)] ½

N é o número total de negócios durante uma série;

R é o número total de séries de negociações vencedoras e perdedoras;

P é igual a 2 x W x L.

W é o número total de negociações vencedoras durante uma série.

L é o número total de trocas perdidas durante uma série.

As séries individuais podem ser representadas por uma seqüência consecutiva de vantagens ou desvantagens (por exemplo ++++ ou & # 8212;). R conta o número dessas séries.

Z pode oferecer uma avaliação de se um sistema de negociação forex está operando no alvo, ou até que ponto ele pode ser.

Assim como é importante, um comerciante pode usar o Z-score para determinar se um sistema comercial contém menos ou maiores séries de vencedores e perdedores do que o esperado de uma seqüência aleatória de negociações e # 8211; Em outras palavras, se os resultados de negociações consecutivas dependem um do outro.

Se o Z-score estiver perto de 0, a distribuição dos resultados comerciais está próxima da distribuição normal. A pontuação de uma seqüência de negócios pode indicar uma dependência entre os resultados desses negócios.

Isso ocorre porque um valor aleatório normal se desviará do valor médio em não mais de três sigma (3 x σ) com uma certeza de 99,7%. Se o valor Z é positivo ou negativo informará o comerciante sobre o tipo de dependência: Um valor Z positivo indica que o comércio lucrativo será seguido por um perdedor.

E, positivo Z indica que o comércio lucrativo será seguido por outro lucrativo, e um perdedor será seguido por outra perda. Esta dependência observada permite que o comerciante forex varie os tamanhos de posição para transações individuais para ajudar a gerenciar riscos.

Sharpe Ratio.

O Razão de Sharpe, ou o índice de recompensa para variabilidade, é uma das ferramentas de probabilidade mais valiosas para os comerciantes de forex. Tal como acontece com os métodos descritos acima, ele depende da aplicação dos conceitos de distribuição normal e desvio padrão. Dá aos comerciantes um método para verificar o desempenho de um sistema de negociação ajustando-se para o risco.

O primeiro passo é calcular os Retornos do período de retenção (HPR). Por exemplo, um comércio que resultou em um lucro de 10% tem um HPR calculado como 1 + 0,10 = 1,10 enquanto um comércio que perde 10% é calculado como 1 - 0,10 = 0,90.

Da mesma forma, o HPR pode ser calculado dividindo o valor do saldo pós-comercialização pelo valor anterior ao comércio. Os Retornos médios do período de retenção (AHPR) são então calculados somando todos os retornos do período de retenção individual, dividindo-se pelo número de negócios.

AHPR por si só produz uma média aritmética que pode não estimar adequadamente o desempenho de um sistema de comércio forex ao longo do tempo. Em vez disso, a eficiência de investimento de um sistema de negociação pode ser avaliada de maneira mais próxima ao usar a Razão de Sharpe, que mostra como AHPR menos a taxa livre de risco de retorno de investimento de longo prazo se relaciona com o desvio padrão do sistema de negociação.

Razão Sharpe = [AHPR - (1 + RFR)] / SD.

Quando AHPR é o retorno médio do período de detenção, RFR é a taxa de retorno livre de risco de investimentos "seguros", como taxas de juros bancárias ou taxas de T-bond de longo prazo, e SD é o desvio padrão.

Uma vez que mais de 99% de todos os valores aleatórios cairão a uma distância de ± 3σ em torno do valor médio de M (X) para um determinado sistema de negociação, quanto maior for o Sharpe Ratio, mais eficiente será o sistema de negociação.

Por exemplo, se a Razão de Sharpe para resultados comerciais normalmente distribuídos for 3, isso indica que a probabilidade de perda é inferior a 1% por comércio, de acordo com a regra de 3 sigma.

Os conceitos de distribuição normal, dispersão, Z-score e Sharpe Ratio já foram incorporados nos logaritmos de EAs e sistemas de negociação mecânica, e sua utilidade é invisível para a maioria dos comerciantes.

No entanto, ao saber como essas ferramentas de probabilidade básicas funcionam, os comerciantes de forex podem ter uma compreensão mais profunda de como os sistemas automatizados executam suas funções e, assim, aumentam a probabilidade de ganhar negócios.

Você está atualmente usando ferramentas de probabilidade para aumentar suas próprias chances de sucesso?

24 respostas.

Ótimo artigo. Eu estava procurando exatamente essa informação. Você poderia esclarecer como eu calculo o valor R para uma série de negociações vencedoras e perdedoras? Não é bem claro como fazer isso. Você diz que é o número total de séries de negociações vencedoras e perdedoras. Isso significa que eu contai os vencedores consecutivos e menos os perdedores consecutivos. Então, se meu sistema tiver um máximo de 7 negociações vencedoras consecutivas e 4 negociações perdidas consecutivas, então é um total de 3 ou 11? Obrigado James.

Eu leio seu blog e quero agradecer por dar a chave de sucesso comercial. O que é realmente útil para o cálculo matemático de negociação.

Obrigado, Rechard. Estou feliz por ter achado útil.

Eu já comprei seu sistema no sistema de pontuação digna ponderada. Eu quero que você saiba que eu sou um macho com deficiência auditiva, que é surdo e não consigo ouvir o que você está dizendo sobre esses vídeos de treino. no entanto, eu não vou deixar o sistema resfriado porque tenho bastante sucesso no que você recomenda para analisar as coisas da perspectiva do fxbook assim.

é verdade que tenho 62% dos negócios vencedores e ganhou dinheiro. Eu sabia que sua pontuação ponderada digtinal aumentaria as probabilidades.

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Um bom artigo, e você explica isso em muito pedagógico.

Obrigado. Espero que você tenha aprendido algo novo de lê-lo.

Excelente artigo. bem explicado e demonstrou um verdadeiro domínio das estatísticas para mostrar uma aplicação importante de maneira muito simples.

Obrigado, David. Mesmo estatísticas muito básicas podem fazer maravilhas para comerciantes que procuram melhorar.

Excelente artigo. Estes são os fundamentos da análise financeira e são muito úteis.

Eu só quero salientar que o RFR (taxa de retorno livre de risco) é uma taxa de retorno de risco zero teórica.

Mais detalhes podem ser encontrados no Currículo do Instituto CFA para aqueles que querem escavar nele.

Grande artigo Shaun. Muito informativo!

Obrigado, Andrew. Esse é um verdadeiro elogio vindo de você!

Tanques mr shaun Eu sou de bali que axcellent.

Obrigado, Parka. Bali é um lindo lugar para se fazer.

& # 8220; A distribuição normal oferece poder de previsão de comerciantes de forex quanto à probabilidade de um preço de par de moedas atingir um certo nível durante um determinado período de tempo. & # 8221;

É errado # 8211; apenas & # 8220; descritivo & # 8221; poder & # 8211; Para a previsão, o modelo é necessário.

Gostaria de ver mais entradas brilhantes. Deve enriquecer minha compreensão para criar um excelente desempenho de alerta de sinal de bot no futuro.

Nunca vi uma vez, mas não é uma experiência, mas não é um problema. e, portanto, dados ser rentáveis & # 8230 ;. jajajaj que verguenza.

La traduccion es automatica. Não posso publicar estes articulos em 7 idiomas diferentes. Lo siento para a qualidade mas os articulos são disponíveis no idioma original.

Bobo & # 8230; .. Lealo en ingles por melhor entendimento.

Ótimo artigo! Eu incorporarei algumas dessas medidas estatísticas no meu sistema de teste de resposta esta noite!

HI shaun, você pode usar o Z-score, para prever se o preço será para cima ou para baixo com base nos dados encontrados em um preço de abertura do bar atual? é assim, você pode fazer e exemplo, eu vou relacionar com & # 8230; & # 8230 ;.

Sim. Você pode traçar os escores z de um instrumento e encontrar um padrão claro entre os retornos passados e futuros.

Distribuição normal EA.

Distribuição normal EA é uma EA baseada em Martingale que usa história, distribuição normal em estatística e probabilidade, vários osciladores e indicadores como RSI, SAR Parabólica, bandas de Bollinger e média móvel em diferentes prazos para determinar o tamanho do lote, Compra, Venda, TP, Tempo de ordem SL e Martingale.

O tamanho do lote do pedido calcula de acordo com o Patrimônio Líquido e a Margem Gratuita no momento, de modo que o Depósito Inicial mais alto e o Patrimônio Líquido mais alto = maior tamanho do Lote e maior lucro.

A distribuição normal EA pode negociar em contas com depósito inicial inferior a 3000 USD, definindo "Comércio se o saldo for inferior a 3000" para VERDADEIRO ".

É uma EA inteiramente dinâmica inteligente que calcula tudo de acordo com as condições do mercado.

Embora a distribuição normal EA seja uma EA baseada em Martingale, devido ao design dinâmico e inteligente, ela está funcionando perfeitamente desde há 8 anos, que esta estabilidade pode ser verificada pela versão demo da EA de distribuição normal. Ele se adapta ao mercado. Como pode ser visto em capturas de tela, sempre que foi testado durante 2009 a 2016, funciona sem enfrentar margem de chamada.

Isso é porque ele calcula parâmetros de acordo com a condição de mercado no momento, então não há necessidade de mudar nada.

Distribuição normal A EA é especialmente design durante 3 anos usando 8 anos de experiência em GBP / USD.

Embora possa ser usado em EUR / USD e em outros pares que a sua segunda moeda seja USD, é recomendável usá-lo em GBP / USD H1 Time frame.

Parâmetros.

additional_LOT: O tamanho do lote calcula automaticamente de acordo com a condição do mercado, mas pode ser adicionado pelo usuário. Deve ser 0,01 ou mais.

Exemplo: se o tamanho do lote calculado por EA for 0,08 e o adicional_LOT for definido como 0,03, o tamanho final LOT para entrar em uma posição será: 0,08 + 0,03 = 0,11.

Troque se o saldo for inferior a 3000 ?: Se este parâmetro for definido como "VERDADEIRO", ele permite que as contas com Depósito inicial inferior a 3000USD possam trocar.

se for definido como "FALSO", a EA não trocará com baixo depósito inicial.

Histórico para verificar (número de velas): Número de velas no passado que EA verifica. Se este parâmetro estiver configurado para números maiores, será verificado um longo período de tempo e mais eventos que aconteceram nas análises anteriores da EA. Números mais baixos podem realizar maiores lucros, mas é menos estável. Números mais elevados apresentam lucro menor, mas é mais estável. História para verificar não teve limite, mas minha experiência mostra que 200 é um número base para começar e 100000 é uma banda mais alta. Um número entre 100 e 10000 dá maior lucro. Os números entre 30000 e 100000 são mais estáveis com menor lucro. Teste os diferentes números no testador e conheça melhor.

AVISO: Distribuição normal A EA calcula tudo de acordo com a condição do mercado, mas se o saldo for inferior a 3000 e o equilíbrio é menor do que o parâmetro 3000 configurado para VERDADEIRO, 0.01, que é o tamanho mínimo LOT, será usado para entrar em uma posição.

Negociando com modelos gaussianos de estatísticas.

Carl Friedrich Gauss era um matemático brilhante que vivia no início dos anos 1800 e deu as equações quadráticas mundiais, métodos de análise de mínimos quadrados e distribuição normal. Embora Pierre Simon LaPlace tenha sido considerado o fundador original da distribuição normal em 1809, Gauss costuma receber o crédito pela descoberta, porque ele escreveu sobre o conceito no início e tem sido objeto de muito estudo por matemáticos há 200 anos. Na verdade, essa distribuição é muitas vezes referida como a "Distribuição gaussiana". Todo o estudo das estatísticas originou-se de Gauss, e nos permitiu entender mercados, preços e probabilidades, entre outras aplicações. A terminologia moderna define a distribuição normal como a curva do sino com os parâmetros "normais". E como a única maneira de entender Gauss e a curva do sino é entender as estatísticas, este artigo irá construir uma curva de sino e aplicá-la a um exemplo comercial.

Existem três métodos para determinar as distribuições: média, mediana e modo. Os meios são tidos em conta adicionando todas as pontuações e dividindo pelo número de pontuações para obter a média. A mediana é tida em conta adicionando os dois números médios de uma amostra e dividindo por dois, ou simplesmente simplesmente tirando o valor do meio de uma seqüência ordinal. O modo é o mais freqüente dos números em uma distribuição de valores. O melhor método para obter uma visão de uma seqüência de números é usar significa porque ele mede todos os números e, portanto, é mais reflexivo de toda a distribuição.

Esta foi a abordagem gaussiana, e seu método preferido. O que estamos medindo aqui são parâmetros de tendência central, ou para responder onde os nossos resultados da amostra são dirigidos. Para entender isso, devemos plotar nossas pontuações começando com 0 no meio e plotar +1, +2 e +3 desvios padrão à direita e -1, -2 e -3 à esquerda, em referência à média. "Zero" refere-se ao meio de distribuição. (Muitos fundos de hedge implementam estratégias matemáticas. Para saber mais, leia Análise Quantitativa de Fundos de Hedge e Modelos Multivariados: a Análise de Monte Carlo.)

Desvio Padrão e Variância.

Se os valores seguem um padrão normal, encontraremos 68% de todas as pontuações cairão em -1 e +1 desvios-padrão, 95% ficam dentro de dois desvios padrão e 99% caem dentro de três desvios padrão da média. Mas isso não é suficiente para nos contar sobre a curva. Precisamos determinar a variância real e outros fatores quantitativos e qualitativos. A variância responde a questão de como a distribuição é distribuída. Ele é um fator nas possibilidades de por que outliers pode existir em nossa amostra e nos ajuda a entender esses valores atípicos e como eles podem ser identificados. Por exemplo, se um valor cai seis desvios padrão acima ou abaixo da média, ele pode ser classificado como um outlier para efeitos da análise.

Os desvios-padrão são uma métrica importante que são simplesmente as raízes quadradas da variância. Os termos modernos chamam essa dispersão. Em uma distribuição gaussiana, se conhecemos a média e o desvio padrão, podemos conhecer as porcentagens dos escores que se enquadram em mais ou menos 1, 2 ou 3 desvios padrão da média. Isso é chamado de intervalo de confiança. É assim que sabemos que 68% das distribuições estão dentro do desvio padrão de mais ou menos 1, 95% dentro de mais ou menos dois desvios-padrão e 99% dentro de mais ou menos 3 desvios-padrão. Gauss chamou essas "funções de probabilidade". (Para mais informações sobre análise estatística, verifique as Medidas de Volatilidade Compreensíveis).

Até agora, este artigo tem sido sobre a explicação da média e dos vários cálculos para nos ajudar a explicá-lo mais de perto. Uma vez que planejamos nossos resultados de distribuição, basicamente desenhamos a curva de nosso sino acima de todas as pontuações, assumindo que elas possuem características de normalidade. Então, isso não é suficiente, porque temos colas em nossa curva que precisam de explicação para entender melhor toda a curva. Para fazer isso, vamos para o terceiro e quarto momentos de estatística da distribuição chamada desvio e kurtosis.

Skewness of tails mede a assimetria da distribuição. Uma inclinação positiva tem uma variância da média que é positiva e inclinada para a direita, enquanto uma inclinação negativa tem uma variância da esquerda inclinada média - essencialmente, a distribuição tende a ser distorcida em um lado particular da média. Uma inclinação simétrica tem 0 variância que forma uma distribuição normal perfeita. Quando a curva do sino é desenhada primeiro com uma cauda longa, isso é positivo. A cauda longa no início antes do nódulo da curva do sino é negativamente inclinada. Se uma distribuição é simétrica, a soma dos desvios em cubos acima da média equilibrará os desvios em cubos abaixo da média. Uma distribuição direta distorcida terá uma inclinação maior do que zero, enquanto uma distribuição de esquerda distorcida terá uma inclinação menor do que zero. (A curva pode ser uma poderosa ferramenta de negociação: para uma leitura mais relacionada, consulte o Risco de Stock Market: Wagging the Tails.)

Kurtosis explica as características de concentração de pico e valor da distribuição. Um excesso negativo de curtose, referido como platykurtosis, é caracterizado como uma distribuição bastante plana onde há uma menor concentração de valores em torno da média e as caudas são significativamente mais gordo do que uma distribuição mesokurtic (normal). Por outro lado, uma distribuição leptokurtic contém colas finas, uma vez que grande parte dos dados está concentrada na média.

Skew é mais importante para avaliar as posições comerciais do que a curtose. A análise de títulos de renda fixa requer uma análise estatística cuidadosa para determinar a volatilidade de uma carteira quando as taxas de juros variam. Modelos para prever a direção dos movimentos devem influenciar a aspereza e a curtose para prever o desempenho de um portfólio de títulos. Esses conceitos estatísticos são aplicados para determinar movimentos de preços para muitos outros instrumentos financeiros, como ações, opções e pares de moedas. Skews são usados para medir os preços das opções medindo as volatilidades implícitas.

O desvio padrão mede a volatilidade e pergunta qual o tipo de retorno do desempenho que podem ser esperados. Desvios-padrão menores podem significar menos risco para um estoque, enquanto uma maior volatilidade pode significar um maior nível de incerteza. Os comerciantes podem medir os preços de fechamento da média, pois está disperso da média. A dispersão então medeia a diferença do valor real para o valor médio. Uma diferença maior entre os dois significa um maior desvio padrão e volatilidade. Os preços que se desviam longe da média, muitas vezes, retornam à média, para que os comerciantes possam aproveitar essas situações. Os preços que se comercializam em uma pequena gama estão prontos para uma ruptura.

O indicador técnico freqüentemente usado para transações de desvio padrão é o Bollinger Band®, porque eles são uma medida de volatilidade definida em dois desvios padrão para bandas superiores e inferiores com uma média móvel de 21 dias. A distribuição de Gauss foi apenas o início da compreensão das probabilidades de mercado. Mais tarde, levou a séries temporais e modelos Garch, bem como mais aplicações de distorção, como o Volatility Smile.

Usando a Fórmula de Distribuição Normal para Otimizar seu portfólio.

A Distribuição Normal (Curva Bell).

Os conjuntos de dados (como altura de 100 humanos, marcas obtidas por 45 pupilas em uma classe, etc.) tendem a ter muitos valores no mesmo ponto de dados ou dentro do mesmo intervalo. Esta distribuição de pontos de dados é chamada de distribuição de curva normal ou de sino. Por exemplo, em um grupo de 100 indivíduos, 10 podem ter menos de 5 metros de altura, 65 podem ficar entre 5 e 5,5 pés e 25 podem estar acima de 5,5 pés. Essa distribuição limitada pode ser plotada da seguinte forma:

Da mesma forma, os pontos de dados plotados em gráficos para qualquer dado conjunto de dados podem parecer diferentes tipos de distribuições. Três das mais comuns são alinhadas à esquerda, alinhadas à direita e distribuídas:

Observe a linha de tendência vermelha em cada um desses gráficos. Isso indica grosseiramente a tendência da distribuição de dados. O primeiro, "LEFT Aligned Distribution", indica que a maioria dos pontos de dados cai no intervalo mais baixo. No segundo gráfico "RIGHT Aligned Distribution", a maioria dos pontos de dados caem no extremo superior do intervalo, enquanto o último, "Jumbled Distribution", representa um conjunto de dados misto sem qualquer tendência clara.

Há muitos casos em que a distribuição de pontos de dados tende a estar em torno de um valor central, e esse gráfico mostra uma distribuição normal perfeita, igualmente equilibrada em ambos os lados com o maior número de pontos de dados concentrados no centro.

Aqui está um conjunto de dados perfeito, normalmente distribuído.

O valor central aqui é 50, que tem o maior número de pontos de dados, e a distribuição diminui uniformemente em relação aos valores extremos extremos de 0 e 100, que possuem o menor número de pontos de dados. A distribuição normal é simétrica em torno do valor central com metade dos valores em cada lado.

Muitos exemplos da vida real se encaixam na distribuição da curva do sino:

Mude uma moeda justa muitas vezes (diga 100 vezes ou mais) e você obterá uma distribuição normal equilibrada de cabeças e caudas. Rolar um par de dados justos muitas vezes (digamos 100 vezes ou mais) e o resultado será uma distribuição normal equilibrada centrada em torno do número 7 e uniformemente diminuindo em direção a valores extremos de 2 e 12. Altura dos indivíduos em um grupo de tamanho considerável e as marcas obtidas por pessoas em uma classe seguem padrões de distribuição normais. Em finanças, as mudanças nos valores de registro das taxas de Forex, índices de preços e preços de ações são assumidas como sendo normalmente distribuídas.

A Relação para Finanças e Investimentos.

Qualquer investimento tem dois aspectos: risco e retorno. Os investidores procuram o menor risco possível para o maior retorno possível. A distribuição normal quantifica esses dois aspectos pela média de retornos e desvio padrão de risco. (Para mais, veja: Análise da diferença média).

A variação média do preço de uma ação específica pode ser de 1,5% diariamente - o que significa que em média, ele cresce 1,5%. Este valor médio ou valor esperado que indica o retorno pode ser alcançado calculando a média em um conjunto de dados suficientemente grande contendo as variações históricas de preços diárias desse estoque. Quanto maior a média, melhor.

Desvio padrão indica a quantidade pela qual os valores se desviam em média da média. The higher the standard deviation, the riskier the investment, as it leads to more uncertainty.

Here is a graphical representation of the same:

Hence, the graphical representation of normal distribution through its mean and standard deviation, enables representation of both returns and risk within a clearly defined range.

It helps to know (and be assured with certainty) that if some dataset follows the normal distribution pattern, its mean will enable us to know what returns to expect, and its standard deviation will enable us to know that around 68% of the values will be within 1 standard deviation, 95% within 2 standard deviations and 99% of values will fall within 3 standard deviations. A dataset which has mean of 1.5 and standard deviation of 1 is much riskier than another dataset having mean of 1.5 and standard deviation of 0.1.

Knowing these values for each selected asset (i. e. stocks, bonds and funds) will make an investor aware of the expected returns and risks.

It’s easy to apply this concept and represent the risk and return on one single stock, bond or fund, but can this be extended to a portfolio of multiple assets?

Individuals start trading by buying a single stock or bond, or investing in a mutual fund. Gradually, they tend to increase their holdings and buy multiple stocks, funds or other assets, thereby creating a portfolio. In this incremental scenario, individuals build their portfolios without a strategy or much forethought. Professional fund managers, traders and market-makers follow a systematic method to build their portfolio using a mathematical approach called modern portfolio theory (MPT) that is founded on the concept of “normal distribution.”

Modern portfolio theory offers a systematic mathematical approach which aims to maximize a portfolio’s expected return for a given amount of portfolio risk by selecting the proportions of various assets. Alternately, it also offers to minimize risk for a given level of expected return.

To achieve this objective, the assets to be included in the portfolio should not be selected solely based on their own individual merit but instead on how each asset will perform relative to the other assets in the portfolio.

In a nutshell, MPT defines how to best achieve portfolio diversification for the best possible results: maximum returns for an acceptable level of risk or minimal risk for a desired level of returns.

The MPT was such a revolutionary concept when it was introduced that its inventors won a Noble Prize. This theory successfully provided a mathematical formula to guide diversification in investing.

Diversification is a risk management technique, which removes the “all eggs in one basket” risk by investing in non-correlated stocks, sectors, or asset classes. Ideally, positive performance of one asset in the portfolio will cancel the negative performance of other assets.

To take the average return of the portfolio that has n different assets, the proportion-weighted combination of the constituent assets' returns is calculated. Due to the nature of statistical calculations and normal distribution, the overall portfolio return (R p ) is calculated as:

the sum (∑) where w i is proportionate weight of asset i in the portfolio, R i is the return (mean) of asset i.

The portfolio risk (or standard deviation) is a function of the correlations of the included assets, for all asset pairs (with respect to each other in the pair). Due to the nature of statistical calculations and normal distribution, the overall portfolio risk (Std-dev) p is calculated as:

where cor-cof is the correlation coefficient between returns of assets i and j, and sqrt is the square-root.

This takes care of the relative performance of each asset with respect to the other.

Although appearing mathematically complex, the simple concept applied here includes not just the standard deviations of individual assets, but also the related ones with respect to each other.

A good example is available here from the University of Washington.

As a thought experiment, let us imagine we are a portfolio manager who has been given capital and is tasked with how much capital should be allocated to two available assets (A & B), so that expected return is maximum and risk is lowest.

We also have the following values available:

Starting with equal 50-50 allocation to each asset A & B, the R p calculates to 0.115 and (Std-dev) p comes to 0.1323. A simple comparison tells us that for this 2 asset portfolio, return as well as risk is midway between individual values of each asset.

However, our aim is to improve the return of portfolio beyond the mere average of either individual asset and reduce the risk so that it is lower than that of the individual assets.

Let’s now take a 1.5 capital allocation position in asset A, and a -0.5 capital allocation position in asset B. (Negative capital allocation means shorting that stock and capital received in used to buy the surplus of other asset with positive capital allocation. In other words, we are shorting stock B for 0.5 times of capital and using that money to buy stock A for amount 1.5 times of capital.)

Using these values, we get R p as 0.1604 and (Std-dev) p as 0.4005.

Similarly, we can continue to use different allocation weights to asset A & B, and arrive at different sets of Rp and (Std-dev)p. According to the desired return (Rp), one can choose the best acceptable risk level (std-dev)p. Alternately, for a desired risk level, one can select the best available portfolio return. Either way, through this mathematical model of Portfolio Theory, it is possible to meet the objective of creating an efficient portfolio with the desired risk and return combination.

The use of automated tools allows one to easily and smoothly detect the best possible allocated proportions easily, without any need for lengthy manual calculations.

The efficient frontier, Capital Asset Pricing Model (CAPM) and asset pricing using MPT also evolve from the same normal distribution model and are an extension to MPT.

The challenges to MPT (and underlying Normal distribution):

Unfortunately, no mathematical model is perfect and each has inadequacies and limitations.

The basic assumption that stock price returns follow normal distribution itself is questioned time and again. There is sufficient empirical proof of instances where values fail to adhere to the assumed normal distribution. Basing complex models on such assumptions may lead to results with large deviations.

Going further into MPT, the calculations and assumptions about correlation coefficient and covariance remaining fixed (based on historical data) may not necessarily hold true for future expected values. For example, the bond and stock markets showed perfect correlation in the UK market during 2001 to 2004 period, where returns from both assets went down simultaneously. In reality, the reverse has been observed over long historical periods prior to 2001.

Investor behavior is not taken into consideration in this mathematical model. Taxes and transaction costs are neglected, even though fractional capital allocation and the possibility of shorting assets is assumed.

In reality, none of these assumptions may hold true, which means realized financial returns may differ significantly from expected profits.

Mathematical models provide a good mechanism to quantify some variables with single, trackable numbers. But due to the limitations of assumptions, models may fail. Normal Distribution, which forms the basis of Portfolio Theory, may not necessarily apply to stocks and other financial asset price patterns. Portfolio Theory in itself has lots of assumptions which should be critically examined, before making important financial decisions.

Probability Tools for Better Forex Trading.

In order to be successful, forex traders need to know the basic mathematics of probability. After all, it’s difficult to achieve and maintain trading gains without first having the ability to understand the numbers and measure them.

Many traders use a combination of black box indicators to develop and implement trading rules. Yet, the difference between a “good” trader and a great one is his or her understanding of the metrics and methods for calculating performance and gains.

Probability and statistics are the key to developing, testing and profiting from forex trading. By knowing a few probability tools, it’s easier for traders to set trading goals in mathematical terms, create and operate effective trading strategies, and assess results.

It’s helpful to review the most basic concepts of probability and statistics for forex trading. By understanding the math of probability, you’ll know the logic used by mechanical trading systems and expert advisors (EA).

Normal distribution.

The most basic tool of probability in forex trading is the concept of normal distribution. Most natural processes are said to be “normally distributed.”

“Uniform distribution” implies that the probability of a number being anywhere on a continuum is about equal. This is the sort of distribution that would result from artificially spreading objects as evenly as possible across an area, with a uniform amount of spacing between them.

However, instead of a uniform distribution, a currency-pair’s price will likely be found within a certain area at any given time. This is its “normal distribution,” and probability tools can show an approximation of where that price is likely to be found.

Normal distribution offers forex traders predictive power regarding the likelihood that a currency-pair price will reach a certain level during a certain time frame.

Computers use a random-number generator to calculate the means (averages) of forex prices in order to determine their normal distribution.

If a large number of sample prices are checked, the normal distribution will form the shape of a bell curve when plotted graphically. The greater the number of samples, the smoother the curve will be.

The rules of simple averages are helpful to traders, yet the rules of normal distribution offer more useful predictive power. For example, a trader may calculate that the “average” daily price move of a forex pair is, say, 50 pips.

Yet, the normal distribution can also tell the trader the likelihood that a certain daily price move will fall between 30 and 50 pips, or between 50 and 70 pips.

According to the rules of normal distribution and standard deviation, approximately 68% of the samples will be found within one standard deviation of the mean (average), and about 95% will be found within two standard deviations of the mean. Finally, there is a 99.7% likelihood that the sample will fall within three standard deviations of the mean.

Normal distribution and standard deviation functions in expert advisors (EA) and trading systems help forex traders assess the probability that prices may move a certain amount during a given period of time.

Yet, traders should be cautious when using the concept of normal distribution alone for purposes of risk management. Even though the probability of a rare event (such as a price decrease of 50%) may seem low, unforeseen marketplace factors can make the possibility much higher than it appears during normal distribution calculations.

Reliability of analysis depends on quantity and quality of data.

When modelling normal distribution curves, the amount and quality of input price data is very important. The greater the number of samples, the smoother the curve will be. Also, to avoid calculation errors resulting from insufficient data, it’s important that each calculation be based on at least thirty samples.

So, for testing a forex-trading strategy by estimating the results from sample trades, the system developer must analyze at least 30 trades in order to reach statistically-reliable conclusions regarding the parameters being tested. Likewise, the results from a study of 500 trades are more reliable than those from an analysis of only 50 trades.

Dispersion and mathematical expectation to estimate risk.

For forex traders, the most important characteristics of a distribution are its mathematical expectation and dispersion. Mathematical expectation for a series of trades is easy to calculate: Just add up all the trade results and divide that amount by the number of trades.

If the trading system is profitable, then the mathematical expectation is positive. If the mathematical expectation is negative, the system is losing on average.

The relative steepness or flatness of the distribution curve is shown by measuring the spread or dispersion of price values within the area of mathematical expectation. Typically, the mathematical expectation for any randomly-distributed value is described as M(X).

So, dispersion can be defined as D(X) = M[(X-M(X)] 2 .

And, a dispersion’s square root is called its standard deviation, shown in mathematical shorthand as sigma (σ).

Dispersion and standard deviation are critically important for risk management in forex trading systems. The higher the value of the standard deviation, the higher will be the potential drawdown, and the higher the risk. Likewise, the lower the value for standard deviation, the lower will be the drawdown while trading the system.

For example, below is a sample risk assessment for a test of a forex trading system:

Trade Number X (Trade Gain or Loss)

In the above example based on the minimum number of thirty trades for an adequate sample, it’s important to note that the mathematical expectation is positive, so the forex trading strategy is indeed profitable.

However, the standard deviation is high, so in order to earn each dollar the trader is risking a much larger amount; this system carries significant risk.

Here’s the rest of the math: To determine the mathematical expectation for this group of trades, add together all the trades’ gains and losses, then divide by 30. This is the mean value M(X) for all the trades. In this case, it equals an average gain of $4.26 per trade. Thus far, the system looks promising.

Next, to calculate the standard deviation of the dispersion, the above average $4.26 is subtracted from the results of each trade, then it’s squared, and the sum of all these squares is added together. The sum is divided by 29, which is the total number of trades minus 1.

By using the formula for Dispersion of (X) = M[(X-M(X)] 2 given above, here’s a check of the calculation from the first trade in our example:

Trade 1: -17.08 – 4.26 = -21.34, and (-21.34) 2 = 455.39.

The same calculation is performed for each trade in the test series. In this example, the dispersion over the series equals 9,353.62 and by definition its square root equals the standard deviation (σ), which in this case is $96.71.

Thus the forex trader sees that the risk for this particular system is fairly high: The mathematical expectation is indeed positive, with a mean profit of $4.26 per trade, yet the standard deviation is high when compared with that profit.

It can be seen that the trader is risking about $96.71 for each opportunity to earn $4.26 in profit. This risk may be acceptable, or the trader may choose to modify the system in search of lower risk.

Beyond the riskiness of a particular trading system, forex traders can also use normal distribution and standard deviation to calculate the Z-score, which indicates how often profitable trades will occur in relation to losing trades.

During the process of developing a winning forex trading system, the trader may wonder how many of the profitable trades seen during testing were “random,” and how many consecutive losing trades must be tolerated in order to achieve winning trades.

For example, let’s assume the average expected profit from a given forex trading system is four times less than the expected loss amount from each stop-loss order triggered while trading this system.

Some traders may assume that the system will win over time, as long as there is an average of at least one profitable trade for each four losing trades. Yet, depending upon the distribution of wins and losses, during real-world trading this system may draw down too deeply to recover in time for the next winner.

Normal distribution can be used to generate a Z-score, sometimes called a standard score, which lets traders estimate not only the ratio of wins to losses, but also how many wins/losses are likely to occur consecutively.

A positive Z-score represents a value above the mean, and a negative Z-score represents a value below the mean. To obtain this value, the trader subtracts the population mean from an individual raw value then divides the difference by the population standard deviation.

The basic standard score calculation for a raw score designated as x is:

Where μ is the population mean and σ is the population standard deviation. It’s important to understand that calculating the Z score requires that the trader know the parameters of the population, not merely the characteristics of a sample taken from that population.

Z represents the distance between the population mean and the raw score, expressed in units of the standard deviation. So, for a forex trading system:

Z = [N x (R – 0.5) – P] / [(P x (P – N)] / (N – 1)]½

N is the total number of trades during a series;

R is the total number of series of winning and losing trades;

P equals 2 x W x L.

W is the total number of winning trades during a series.

L is the total number of losing trades during a series.

Individual series can be represented by a consecutive sequence of pluses or minuses (for example ++++ or —). R counts the number of such series.

Z can offer an assessment of whether a forex trading system is operating on-target, or how far off-target it may be.

Just as importantly, a trader can use Z-score to determine whether a trading system contains fewer or greater series of winners and losers than expected from a random sequence of trades – In other words, whether the outcomes of consecutive trades are dependent upon each other.

If the Z-score is near 0, then the distribution of trade results is near the normal distribution. The score of a sequence of trades may indicate a dependency between the results of those trades.

This is because a normal random value will deviate from the average value by not more than three sigma (3 x σ) with a certainty of 99.7%. Whether the Z value is positive or negative will inform the trader about the type of dependence: A positive Z value indicates that the profitable trade will be followed by a loser.

And, positive Z indicates that the profitable trade will be followed by another profitable one, and a loser will be followed by another loss. This observed dependency lets the forex trader vary the position sizes for individual trades in order to help manage risk.

Sharpe Ratio.

The Sharpe Ratio, or reward-to-variability ratio, is one of the most valuable probability tools for forex traders. As with the methods described above, it relies on applying the concepts of normal distribution and standard deviation. It gives traders a method to check the performance of a trading system by adjusting for risk.

The first step is to calculate the Holding Period Returns (HPR). For example, a trade which resulted in a profit of 10% has a HPR calculated as 1 + 0.10 = 1.10 while a trade which loses 10% is calculated as 1 – 0.10 = 0.90.

Likewise, HPR can be calculated by dividing the after-trade balance amount by the before-trade amount. The Average Holding Period Returns (AHPR) is then calculated by adding up all individual holding-period returns, then dividing by the number of trades.

AHPR by itself produces an arithmetic average which may not properly estimate the performance of a forex trading system over time. Instead, a trading system’s investment efficiency can be more closely estimated by using the Sharpe Ratio, which shows how AHPR minus the risk-free rate of long-term investment returns relates to the standard deviation of the trading system.

Sharpe Ratio = [AHPR – (1 + RFR)] / SD.

When AHPR is the average holding period return, RFR is the risk-free rate of return from “safe” investments such as bank interest rates or long-term T-bond rates, and SD is the standard deviation.

Since more than 99% of all random values will fall within a distance of ±3σ around the mean value of M(X) for a given trading system, the higher the Sharpe Ratio, the more efficient the trading system.

For example, if the Sharpe Ratio for normally-distributed trade results is 3, it indicates that the probability of losing is less than 1% per trade, according to the 3-sigma rule.

The concepts of normal distribution, dispersion, Z-score and Sharpe Ratio are already incorporated into the logarithms of EAs and mechanical trading systems, and their usefulness is invisible to most traders.

Yet, by knowing how these basic probability tools work, forex traders can have a deeper understanding of how automated systems perform their functions, and thereby enhance the probability of winning trades.

Are you currently using probability tools to increase your own chance for success?

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